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Asymptoten knacken: So erkennst du sie spielend leicht
Gefällt mirEin tiefgehender Blick in die Welt der Asymptoten: Von senkrechten Asymptoten in gebrochen rationalen Funktionen bis hin zu waagrechten Asymptoten in e-Funktionen. Eine kompakte Anleitung zur Analyse von Funktionen und Asymptoten.
Senkrechte Asymptoten gibt es nur bei gebrochen rationalen Funktionen. Das bedeutet, dass das „X“ im Nenner stehen muss und nicht über Umformungen kürzbar sein darf.
Eine gebrochen rationale Funktion vom Typ f(x) = a/(x-x0) hat die senkrechte Asymptote als Sprungstelle bei x0.
Eine gebrochen rationale Funktion vom Typ f(x) = a/(x-x0)² hat die senkrechte Asymptote als Polstelle bei x0.
Welcher Schritt reicht also aus, um die senkrechten Asymptoten einer gebrochen rationalen Funktion zu bestimmen?
Es genügt, die effektiven Nullstellen des Nenners zu berechnen, um die senkrechten Asymptoten zu finden.
Dabei leistet der Satz vom Nullprodukt, die binomischen Formeln oder die gemischt-quadratischen Lösungsformeln (das sind die abc-Formel und pq-Formel) regelmäßig zuverlässige Dienste.
Senkrechte Definitionslücken, die aus den Nullstellen der Nenner berechnet werden, müssen nicht immer Asymptoten sein. Wenn sich die Bruchterme umformen und kürzen lassen, sind die Lücken behebbar und können geschlossen werden.
Dabei stellen effektiv doppelte Nullstellen des Nenners Pol-Stellen dar und die normalen, einfachen Nullstellen des Nenners werden zu Sprungstellen mit Vorzeichen-Wechseln.
Eine gebrochen rationale Funktion vom Typ f(x) = a/(x-x0) +b hat die waagrechte Asymptote bei b. Die waagrechten Asymptoten sind dann in der ersten Grafik grün dargestellt.
Eine e-Funktion vom Typ f(x) = b*e^(ax) +c hat die waagrechte Asymptote bei c.
Die e-Funktion hat keine senkrechte Asymptote.
Die waagrechten Asymptoten sind in der zweiten Grafik ebenfalls grün dargestellt.
Die Grafiken sind der Einfachheit halber mit dem Mafa-Funktionsplotter dargestellt.
Damit ist es recht einfach, sich Funktionen und Funktions-Scharen anzeigen zu lassen.
Die Grenzwerte für horizontale Asymptoten anderer Funktion-Typen lassen sich über die Limes-Bildung und L'Hospital als Grenzwerte bzw. Ableitungen von Zählern und Nennern berechnen.
Wie funktioniert der Satz vom Nullprodukt?
Der Satz vom Nullprodukt basiert darauf, dass eine Multiplikation mit NULL immer das Ergebnis NULL liefert.
Wenn also in der faktorisierten Schreibweise einer Funktion ein Faktor NULL wir, dann ist der gesamte Ausdruck NULL.
Beispiel:
f(x) = a(x-1)(x-3)(x+5) = 0
Dann ist der gesamte Ausdruck NULL, sobald einer der Faktoren – also die Klammerausdrücke – null wird. Daraus ergibt sich direkt ablesbar: x01 = +1; x02 = 3; x03 = -3;
Manchmal sind auch Teilausdrücke durch die Binome in Produkte umformbar. Die Binome sehen dann in etwa folgendermaßen aus:
1. Binom: x² +2x +1 = (x +1)²
2. Binom: x² -2x +1 = (x -1)²
3. Binom: x² – a² = (x + a) * (x - a)
Bei gemischt quadratischen Termen kann man die pq-Formel anwenden:
Wenn das Muster x-1 +px +q = 0 zutrifft, dann ist die Lösung:
x½ = -p/2 +- Wurzel((p/2)² – q)
Bei höheren Exponenten gibt es manchmal Muster, die mit einer Substitution auf eine gemischt quadratische Form umgewandelt werden können.
z. B. bei f(x) = x^4 – x² +8 = 0
kann man mit z = x² umformen und kommt auf:
z² – z +8 = 0
das kann mit der pq-Formel gelöst werden und anschließend wird durch die RE-Substitution wieder aus dem z das x berechnet.
Es gibt auch Fälle, in denen die Substitution mit x³=z erfolgt. Dann muss die Ursprungsform sein:
f(x) = x^6 -x³ -8 = 0
das würde nach der Substitution mit Z=x³ auf dieselbe Gleichung wie oben führen – nämlich: z² – z +8 = 0 Auch das Zwischenergebnis mit Z wäre gleich. Nur nach der RE-Substitution würde sich das Ergebnis unterscheiden.
Das letzte und aufwändigste Verfahren der Polynomdivision wird heute i.d.R. nicht mehr oder nur noch selten angewendet, da die modernen Taschenrechner leicht bedienbar numerische Lösungsverfahren integriert haben. Ich erwähne das Verfahren daher nur der Vollständigkeit halber (oder für die Leistungskursler unter Euch).